Hallazgo Cuasi-Arqueológico

Por casualidad llegó a mis manos un extraño instrumento de cálculo made in Argentina patentado hace 86 años. Para quien tuvo la amabilidad de enseñármelo, tiene un invaluable valor emocional. Para mí, representa un objeto de interés cultural, una pieza que encapsula momentos de la historia nacional, y un disparador de reflexiones filosóficas de interés para las matemáticas y su enseñanza.

José Cabeza patentó en el año 1938 una Tabla Multiplicadora. El dorso de esta peculiar invención incluye la siguiente nota (ver Figura 1), cuyo marcado tono pedagógico compartiré con ustedes antes de pasar a describir sucintamente la tabla en cuestión:

Los niños aprenden a multiplicar de memoria en forma tal que cuando se les pregunta: cuánto es 8×4, deben mentalmente repetir: 8×1 = 8, 8×2 = 16, 8×3 = 24, hasta que llega a 8×4 y recién entonces dan el resultado. Con esta tabla, que el niño maneja como un juguete, aprende a multiplicar mucho más rápido y sin seguir el orden mencionado…

Breve descripción del instrumento

La Tabla Multiplicadora es un instrumento de cálculo que posee una forma oval (ver Figura 2). En la parte inferior se encuentran las posibles combinaciones de números del 1 al 9; en la parte superior, todos los valores que resultan de la multiplicación. Manualmente se mueven dos agujas para señalar los valores que se quieren multiplicar; ello produce que una aguja superior se desplace con precisión bajo el resultado. La tabla permite que el niño “en poco tiempo” sea capaz “de responder a cualquier operación de multiplicar, con toda exactitud y al instante”.

Si se observa la tabla con detenimiento, notaremos interesantes aspectos de diseño. Uno de ellos despertó mi atención: la peculiar ordenación y distribución espacial de los resultados ubicados en la parte superior del huevo. El ojo entrenado encuentra patrones numéricos que facilitan inferencias, e.g. la propiedad conmutativa de la multiplicación y las operaciones de potencia y raíz de dos. Tales patrones alojan preguntas genuinas que el docente del siglo XXI bien podría explotar. Notemos entonces que con esta tabla podemos obtener mecánicamente un resultado con inmediatez y exactitud. Mas también, la tabla despliega el espacio combinatorio de valores de manera altamente informativa y formativa. Empleando un lenguaje cercano al del filósofo norteamericano Charles Peirce (1839-1914), la Tabla Multiplicadora de José Cabeza exhibe en un formato altamente icónico las operaciones de multiplicación que involucran a los numerales arábigos del 1 al 9.

El Arte Matemático

El instrumento de cálculo que acabo de presentarles añade un nuevo artefacto a la arcana, aunque escásamente visitada y menos reconocida, cultura material en matemáticas. Cerraré esta nota con algunas consideraciones históricas y etimológicas que intentan poner en valor dicha cultura, la cual concibe a las matemáticas como un conjunto abigarrado de técnicas -o artes– y no como una ciencia regida por un método determinístico.

Una visión de cuño filosófico con mucho arraigo en el ámbito de la educación media y superior, concibe a las matemáticas como una ciencia cuyos objetos de estudio son puramente inteligibles, cuyo objetivo es la construcción de teorías, cuyo método es axiomático, y cuyo razonamiento se reduce al razonamiento lógico-deductivo. En aras de la brevedad, llamaré a esta concepción de las matemáticas enfoque axiomático. El reconocido investigador francés Ives Chevallard propone recuperar el término “matemáticas mixtas”, en uso en Europa entre los siglos XVI y XVIII, para interpelar el enfoque axiomático y repensar la educación matemática de nuestro tiempo. (Cf. Chevallard 2013)¹

Las matemáticas mixtas valoran la superposición e interacción de las matemáticas con otras disciplinas, así como el diseño, construcción y empleo de instrumentos materiales de diversos tipos.² Esta manera de entender a las matemáticas confronta fuertemente con la concepción axiomática, para la cual el valor epistemológico por autonomasia consisite en alcanzar el mayor grado de abstracción posible. Un centro de alto desarrollo de matemáticas mixtas tuvo lugar a partir del siglo XVI en los Países Bajos. Allí existía una potente cultura material de la cual se nutrieron figuras como Galileo, Descartes y Huygens. Cerraré la presente nota con una curiosidad etimológica.

Mathematik, Mathématique, Matemática, Mathematics, diferentes lenguas como el alemán, el francés, el español y el inglés emplean un término cuya raíz en el vocablo griego mathematikos, y en el vocablo latín mathematĭca, resulta completamente transparente. Llama la atención que en los Países Bajos se utilice el término Wiskunde: “el arte de lo que es cierto”. El término fue introducido por el matemático flamenco Simon Stevin. Muchos aducirán que Stevin fue un ingeniero más que un matemático. Basta por ahora con señalar que fue un matemático cuyo enfoque estaba divorciado del de las Universidades de Europa, lugares donde la transmisión del conocimiento matemático se reducía al estudio de los Elementos de Euclides -texto paradigmático de la concepción axiomática. Stevin, como medio siglo más tarde haría René Descartes, procuró acercar a un público no especializado “el arte matemático”. Pero fue más allá de Descartes calcando vocablos griegos al neerlandés moderno.³ Stevin llamó a la Geometría Meetkunde,⁴ esto es: el arte, la capacidad, o el disponer de los medios y las herramientas para hacer mediciones.

Puesto que términos como Wiskunde y Meetkunde emergieron en pleno apogeo de las matemáticas mixtas del siglo XVI holandés, me pregunto si aún resguardan la energía, la fuerza semántica de aquella rica tradición matemática que hizo de los Países Bajos una potencia económica y tecnológica durante el Renacimiento y la Modernidad Temprana.

"Quien recibe un nombre, recibe un destino" (Leopoldo Marechal)

Quizás podamos forjar un nuevo imaginario para las matemáticas en esta parte del planeta llamándolas de otro modo. Un imaginario menos elitista y más atado a la resolución de problemas prácticos, con sentido epocal, y en la que también se pueda razonar tocando, viendo, y -por qué no- rompiendo.