LA EFEMÉRIDE MÁS PENSADA
14 de marzo: día de π
A diferencia del uso corriente en esta parte del planeta, por convención, las fechas en los Estados Unidos se escriben anteponiendo el mes al día. Así, la fecha de hoy se escribe de este modo: 3-14. Por esta razón anglocentrista el 14 de marzo es el día del número Pi, o π, si empleamos la letra del alfabeto griego para designarlo.
La escuela no suele problematizar este número fascinante. Distinguen el campo numérico de los racionales del de los irracionales y rara vez se indaga en el sentido de las palabras que empleamos para referir a dichos campos. Cabe preguntar: ¿por qué ciertos números son “irracionales”? ¿Qué se quiere indicar con ello?
En términos modernos π representa el cociente entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. En verdad, π era la letra que designaba el perímetro del círculo. Asumiendo que el diámetro es igual a la unidad, tenemos que π/1 = π. Fue Euler, en el siglo XVIII, quien instauró el uso de π para representar el cociente. ¿Pero cuál es el valor de π?
Al igual que el trauma de los pitagóricos frente al cálculo de la hipotenusa del triángulo con catetos igual a uno, el valor de π no podía ser computado con exactitud. Hablar de “cómputo”, hay que reconocerlo, supone incurrir en un anacronismo imperdonable. En el universo de la Grecia antigua, donde el problema en torno a π adquirió vigor desde una perspectiva teórica,1 se trataba de un problema de medición. ¿Cuál es la razón entre el perímetro y el diámetro? ¿Existe una medida común que permita comparar el perímetro con el diámetro? La respuesta que todos conocemos es que tal medida no existe y que por ello π pertenece al campo de los números irracionales. Pero una prueba de esto recién pudo ofrecerla Johann Lambert en la segunda mitad del siglo XVIII. Hasta poco antes, los matemáticos más destacados de la Revolución Científica habían aportado métodos que solamente mejoraban el excelente resultado al que había arribado Arquímedes dos siglos previos a la era Cristiana. Empleando un ingenioso -aunque tedioso- método geométrico Arquímedes desarrolló un procedimiento para aproximar el valor de π. Por ese camino, llegó a un resultado que a fines prácticos posee una precisión destacable: π es algún valor algo menor que 22/7 y apenas mayor que 223/71. Promediando y traduciendo el resultado a una cifra decimal, Arquímedes llegó al siguiente valor de π: 3,141851. ¡Eureka!
Un resultado asombroso, empleando el intrincado método de Arquímedes, fue alcanzado a fines del siglo XVI por el matemático de Leiden Ludolph van Ceulen: el holandés logró una precisión de 31 dígitos. Décadas más tarde llegaría el turno de Viète, Huygen y Leibniz, grandes figuras del siglo XVII europeo que decidieron afrontar el estudio de este particular número.
La naturaleza de π y de su utilidad práctica
Dijimos que recién en la segunda mitad del siglo XVIII existieron argumentos matemáticos confiables para afirmar que π es un número irracional. Antes de eso, a falta de una demostración rigurosa, los matemáticos adoptaban posiciones diferentes respecto de la naturaleza de π.
La necesidad de una prueba para zanjar esta cuestión la había hecho notar en el año 1484 Nicolas Chuquet en la que fuera la primera geometría escrita en lengua francesa:
De la proporción del diámetro a su línea circunferencial, el uso común sostiene que es de 7 a 22, pero esto es algo que no puede probarse mediante demostración alguna.2
Leibniz, en un texto de 1675 -reconstruido y publicado en una versión latín/alemán en el año 1993- encontraría una fórmula para el cómputo de π en el moderno lenguaje de las series aritméticas infinitas. Tal resultado ilusionó a su mentor, el científico holandés Christian Huygens, entonces director de la Academia de Ciencia de París. A diferencia de Leibniz, Huygens aún guardaba la esperanza de encontrar el valor definitivo de π, sumando todos los términos de la serie descubierta por su pupilo:
No parece imposible dar la suma de esta progresión ni, en consecuencia, lograr encontrar la cuadratura del círculo.
Más allá de que la historia le daría la espalda a Huygens, este notable científico moderno tampoco supo advertir la dificultad de orden práctico que la serie de Leibniz acarreaba. Sobre este aspecto sí se pronuncio quien años más tarde sería el principal enemigo de Leibniz: Isaac Newton. El científico inglés, padre de la física moderna, señaló con énfasis que la serie de Leibniz converge a π muy lentamente. No puedo evitar la imagen del séquito de Newton, con pluma y a la luz de las velas, computando la serie de Leibniz. Veamos la serie en cuestión:
π/4 = 1/1 – 1/3 + 1/7 – 1/9 + 1/11 – 1/13 etc
Por suerte hoy contamos con potentes procesadores para realizar este tipo de tediosas operaciones. En la función que se presenta abajo, escrita en el lenguaje de programación python
, se realiza primeramente la suma de los primeros 117 términos de la serie de Leibniz. Luego, de 118 términos. Finalmente, hacemos el cómputo de 150.000 términos.
import math # Definimos una función para computar π usando la serie de Leibniz def pi_leibniz(n): return sum((-1) ** k / (2 * k + 1) for k in range(n + 1)) * 4 # Computo de π con la serie de Leibniz para n = 117 pi_value = pi_leibniz(117) print(pi_value) # Computo de π con la serie de Leibniz para n = 118 pi_value = pi_leibniz(118) print(pi_value) # Computo de π con la serie de Leibniz para n = 150.000 pi_value = pi_leibniz(150000) print(pi_value)
#+RESULTS:
3.1331182294626685 3.14999586659347 3.1415993202119665
El resultado impreso en pantalla sorprende. Se necesitan sumar exactamente 118 términos de la serie para encontrar el valor de 3,14. Para llegar al valor de 3.1415, valor que todos vimos en la escuela, es preciso sumar alrededor de 150.000 términos de la serie de Leibniz.
A pesar de estas dificultades, Leibniz defendió su serie con fuerza y con una importante dosis de platonismo. Adujo que el patrón de la serie -que exhibe una alternancia, término a término, de suma y resta de todos los números impares en el denominador-, es expresión de la simplicidad, belleza y elegancia de las matemáticas. Las dificultades de orden práctico, son cuestiones contingentes. Por otra parte, convencido como estaba de que π era de veras un número irracional -aunque sin disponer de una prueba que lo demuestre- sostuvo que su serie infinita contaba como una solución “exacta” del problema.
***
La actual capacidad de cómputo permite sortear las dificultades prácticas que habría enfrentado el séquito de calculistas de Newton con la serie de Leibniz. Al igual que lo sucedido en la feroz disputa entre estos dos grandes científicos modernos respecto del descubrimiento del cálculo diferencial e integral, con el estudio de π la historia de las matemáticas le ha dado la razón, una vez más, a
Leibniz, reconocido por muchos como el último sabio universal.
1 Sin demérito de los estudios sobre el tema en otras culturas, notablemente, en la cultura matemática en China. Las investigaciones de Karine Chemla y Guo Shuchun han significado un aporte invaluable para reivindicar las investigaciones matemáticas en la China Antigua.
2 Original en francés: “De la proporcion du dyametre a sa ligne circonferenciale, l’usage commun tient que c’est comme de 7 a 22, mais c’est chose qui ne se puelt prouver par aulcune demonstracion”.
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