¿HASTA DÓNDE SE PUEDE EXTENDER EL RAZONAMIENTO?

“Hasta qué punto se puede hacer que una máquina realice el proceso de pensar y qué parte de ese proceso debe dejarse a la mente humana es una pregunta que posee una importancia práctica considerable; su estudio, en cualquier caso, no puede más que arrojar necesaria luz sobre la naturaleza del proceso de razonamiento”. (Charles Sanders Peirce, 1887)

Las matemáticas, las maquinas, y el mundo en el siglo XVII

En su “árbol del conocimiento” Francis Bacon, el padre anglosajón de la filosofía occidental, distingue dos tipos de matemáticas: las matemáticas puras -como la geometría y la aritmética- y las matemáticas mixtas. Caían bajo el término matemáticas mixtas, aclara Bacon, la música, la perspectiva, la óptica, la cosmografía y la astronomía, la arquitectura y la ingeniería. Estamos situados en los albores de la revolución científica del siglo XVII, cuando las matemáticas se empezaban a “mezclar”¹ con los problemas provenientes de otras disciplinas, ofreciendo modelos y herramientas de cálculo. Las matemáticas mixtas constituían un terreno de límites dinámicos -valga el oxímoron. Por ejemplo, a mediados del siglo XVIII D’Alembert subsumió, tras un siglo de progresos, el arte de las conjeturas -lo que hoy llamamos probabilidad– bajo el dominio de las matemáticas mixtas. Por otra parte, el diseño de instrumentos para el abordaje de problemas ingenieriles, así como el diseño y construcción de máquinas para realizar cómputos y para el trazado de figuras geométricas, también constituían ejemplos de matemáticas mixtas. (Cf. Parmentier 1995, p. 257) Matemáticos Neerlandeses, empezando en el siglo XVI por Stevin, y pasando por van Schooten -amigo protector de René Descartes- y sus discípulos hasta llegar al gran Christian Huygens -sin duda, uno de los científicos más salientes de la revolución científica- fueron expertos en el arte de inmiscuir la matemática en el tratamiento de todo tipo de problemas. G.W. Lebniz, entre muchas otras cosas creador del cálculo diferencial e integral, fue heredero de esta tradición. De hecho, sus primeros pasos con las matemáticas modernas fueron tutelados justamente por Crhistian Huygens, entonces director de L’Académie des Sciences de París, durante los primeros años de la década de 1670.

Leibniz: pensar es computar

En su primer viaje a la Royal Society de Londrés, en 1673, Leibniz exhibió, como carta de presentación para ser aceptado en esa prestigiosa institución científica, una calculadora que había construido; ésta permitía realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. (Cf. Hofmann 1974) Leibniz no desestimaba en absoluto la utilidad de estas máquinas aritméticas, no sólo para aliviarle la vida a contadores y comerciantes, sino y sobretodo para “liberar la mente” de operaciones rutinarias. Un aspecto de absoluta originalidad en el pensamiento de Leibniz -y de gran fecundidad para las matemáticas- fue el rol que otorgó a la lengua escrita como instrumento para potenciar el poder de cómputo. La calculadora era una máquina específica. En cambio, una adecuada notación simbólica, podía extender el poder de cómputo de la mente más allá de lo concebible. El pensamiento puede ser concebido como una forma de cómputo, pensaba Leibniz.

La idea de diseñar una característica universal, especie de lógica simbólica que permitiera reducir a reglas de cómputo todas las operaciones del pensamiento, se transformó en sus años de juventud en proyecto; y el proyecto tenía un ineluctable cariz metafísico: la construcción de un “alfabeto de los pensamientos humanos”. Una vez construido este alfabeto, la “característica universal” regularía de manera “mecánica” la combinatoria de las letras que disignaban las nociones primitivas. Esto permitiría componer todas las nociones posibles. (Cf. Lamarra 1978)

Leibniz sostenía que este lenguaje simbólico extendería el poder de la mente mucho más de lo que entonces telescopios y microscopios extendían el poder de la vista. El error de la mente sería igual a un error de cómputo, pero, ahora, el error sería visible, quedaría impreso sobre el papel, lo cual evitaría innecesarias controversias. Para Leibniz, repetimos, una calculadora era una máquina particular, apenas una muestra de su característica, el lenguaje simbólico que dos siglos más tarde inspiró los desarrollos que dieron lugar a la creación de una lógica de relaciones. (Cf. Davis 2000)

Peirce y el análisis del razonamiento

No mucho se conoce de Charles Peirce, una de las figuras fundantes de la Academia estadounidense. Sus aportes tuvieron lugar durante la segunda mitad del siglo XIX. Pocas pero muy grandes figuras de la filosofía del siglo XX -como A. Tarski y H. Putnam- dieron crédito a su principal logro: la creación de una lógica de relaciones tras más de dos mil años de predominio de la lógica aristotélica. Ketner, en sus estudios sobre el filósofo nacido en Pennsylvania, destaca que para Peirce la lógica de relaciones, pieza clave para el diseño de los problemas que dieron origen a la computación moderna, era no sólo un lenguaje simbólico que codificaba aspectos fundamentales del razonamiento deductivo, sino un instrumento para el análisis del razonamiento mismo. El objetivo de Peirce con esta lógica formal de relaciones, comenta Ketner en su estudio de 1988, “no era crear un cálculo formal, sino analizar razonamientos”.² (Cf. Ketner 1988, p. 42) En tal sentido, si atendemos a su condición de origen, la lógica de relaciones puede ser vista como una rama de las matemáticas mixtas antes que como un proyecto purificador de las matemáticas, como años más tarde pretendió el logicismo de Russell y el formalismo de Hilbert. Y a fortiori, como la continuación de una línea de investigación, largamente postergada, iniciada por Leibniz en el siglo XVII.

Son varios los paralelos que se pueden trazar entre Peirce y Leibniz y esta nota no puede de ninguna manera hacer justicia a todos ellos. Al igual que Leibniz, Peirce estuvo involucrado con el diseño de máquinas. Exhibió admiración y fascinación hacia su tocayo Charles Babbage. En su obituario al científico Británico, que publicó en 1871 en The Nation, destaca la enorme importancia de su motor analítico cuyo diseño, por falta de apoyo del gobierno británico, no pudo ser construido. Se trataba de la primera computadora de propósito general, y la descripción que hace Peirce de los aportes de Babbage dan clara cuenta del profundo conocimiento que tenía de los principales -y seminales- desarrollos en el campo de las tecnologías computacionales. Escribe Peirce tras el fallecimiento de Babbage::³

“Hacia 1822 fabricó su primer modelo de máquina calculadora. Fue un ‘motor diferencial’ (…) Descubrió la posibilidad de un nuevo motor analítico, para el cual el motor diferencial no era nada; éste sería capaz de hacer todo el trabajo aritmético de aquél, pero infinitamente más (…) el motor analítico es, sin lugar a dudas, la obra más estupenda de la invención humana. Es tan complicado que la mente de ningún hombre podría rastrear la forma de su funcionamiento a través de dibujos y descripciones…”.⁴ (Ibid., p. 35)

Peirce, en consonancia con Leibniz, pensaba que una máquina aritmética era una máquina particular, una pequeña muestra del poder de cálculo de la mente: “Las máquinas calculadoras son máquinas lógicas especializadas”, afirmaba Peirce.⁵ (Ibid., p. 39) Sin embargo, una importante tesis que defendió a lo largo de toda su carrera sostiene que sólo una parte del razonamiento matemático puede reducirse a procedimientos mecánicos:

“El valor de las máquinas lógicas parece residir en que muestran hasta qué punto el razonamiento es un proceso mecánico y hasta qué punto exige actos de observación”.⁶ (Ibid.)

De acuerdo con Peirce, todo razonamiento matemático es diagramático,⁷ y sólo una parte de éste se puede desplegar en forma mecánica. La demostración formal de este punto, a la vez que rompe la sinonimia sugerida por Leibniz entre pensamiento y cómputo, sería el problema que décadas más tarde resolvería Alan Turing dando con ello origen a la teoría computacional moderna.

Alan Turing y los límites de la mecanización del pensamiento

Turing demostró en su artículo de 1936 titulado “Sobre los números computables” -en línea con lo planteado por Peirce- que procedimientos mecánicos o algorítmicos no alcanzan para dar cuenta de la complejidad del razonamiento involucrado en la resolución de problemas matemáticos. (Cf. Davis 2000) Pocos años antes de su artículo de 1936, Turing ya planteaba dicho punto:⁸

“La visión puramente logicista de las matemáticas es inadecuada. Las proposiciones matemáticas poseen una variedad de interpretaciones, de las cuales la logicista es simplemente una”.⁹ (Turing 1933 – Moral Sciences Club)

Un brillante matemático de Cambridge de aquellos años, expresó alivio tras el resultado alcanzado por Turing, porque de lo contrario “existiría un conjunto de reglas mecánicas para resolver todos los problemas matemáticos y nuestra labor como matemáticos habría llegado a su fin”.¹⁰

Por otra parte, y en línea con Leibniz, Turing avizoró con lucidez el alcance de la computación. Una computadora puede extender la mente hasta límites insospechados.

* * *

Han pasado casi noventa años del paper de Turing, piedra fundacional de la teoría de la computación. El misterio continúa: ¿hasta dónde se puede extender el pensamiento? Cómo saberlo… apenas una parte del pensamiento, aquella que puede reducirse a un mecanismo, hizo posible todo el software que necesito para escribir esta nota y para publicarla en portales web y redes sociales. La computadora es un artefacto excepcional, argumentó en 1982 el notable teórico de la computación Edsger Dijkstra.¹¹ La computadora no es, al menos solamente, una herramienta utilitaria como lo es el bisturí para el cirujano. Es mucho más: es una tecnología de tecnologías capaz de ejecutar todo algoritmo. Con todo se debe entender un número de algoritmos mayor que cualquier número dado. Si ahora abro en mi computadora un programa para realizar operaciones aritméticas -esa máquina particular de la que hablaba Leibniz y Peirce-, mi gestor de procesos pasará de 140 a 141.

¿Cuántas “máquinas particulares” o programas existen hoy y cuántas más existirán en el futuro?

 

 

Referencias

Brown, G. (1991). “The Evolution of the Term ‘Mixed Mathematics'”. Journal of the History of Ideas, 52(1): 81-102. doi: https://doi.org/ckk7ft

Davis, M. (2000). Universal computer. The road from Leibniz to Turing. NY: W. W. Norton & Company.

Dijkstra, E.W. “The nature of computer science”. Draft, EWD682.

Hofmann, J. (1974) Leibniz in Paris (1972-1976): his growth of mathematical maturiry. Cambridge University Press.

Ketner, K. L. (1988). “Peirce and Turing comparisons and conjectures”. Semiotica 68-1 (1988), 33-61. Mouton de Gruyter, Amsterdam.

Lamarra, A., (1978), “The development of the theme of the ‘logica inventiva’ during the stay of Leibniz in Paris”, Leibniz a Paris, Vol. II Studia Leibniziana Supp. XVIII, Stuttgart: Steiner Verlag, pp. 55 – 71.

Parmentier, M. (1995), La naissance du calcul différentiel. Paris, Vrin.